无限集合和集合的可数性

摘要

数学中集合可数性相关知识

     集合分为有限集合跟无限集合，故名思议，有限集合即是可以统计出有多少元素的集合，而无限集合是无法统计出的。

     对于有限集合来说，它的真子集的基数是应该比它本身的基数要小，那么对于无限集合呢？

当然无限集合的基数是没有确切值了，因为它是无穷。我们先来看一个例子，自然数集N和偶自然数集{x: x % 2==0 && x is N}, 这两个集合我们凭空想象可能觉得后者应该比前者的基数小，因为后者是前者的真子集，但实际上我们应该从另一个角度来考虑，对于每一个自然数，它乘以2都是一个偶数，这样它们的基数应该是一样的，这里就引出了如下一个可数集的定义：

     集合X叫做可数无限的，当且仅当它与自然数集有相同的基数，亦即它与自然数集存在一种双射关系。集合X叫做最多可数的当且仅当它是可数的或者它是有限的。如果一个集合是不可数的，那么它是无限的但不是可数的。

    由此我们可以了解到几种无限可数的集合。例如奇自然数数，整数（如下解释），比例数（即有理数，称为比例数更加好，因为数不存在有理不有理，它是可数集的证明留给大家去想象）。

    整数是可数集，那么它应该与自然数一一对应，怎么对应呢。我们这样将自然数有序排列下去，然后0对应着0，1对应着1，2对应着-1，写成双射表达式就是：

   f(x) = (-1)^(x-1) * ((x+1)/2) x is N。

注：比例数跟自然数的双射关系很难写成表达式，但可以用言语表达。

我们有几个相关的推论：

1. 自然数集合的一切子集合都是至多可数的。

2. 如果X是最多可数的集合，而Y是X的子集合，则Y也是至多可数的。

3. 如果Y是集合，并设f：N --> Y 是函数，那么f(N) 是至多可数的。

4. X是可数集，并设f: X --> Y是函数，那么f(X) 是至多可数的。

上述的推论过程留待读者

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