无限集合和集合的可数性

作者:liuguobing   阅读 (1034)  |  收藏 (0)  |  点赞 (0)

摘要

数学中集合可数性相关知识


原文链接:无限集合和集合的可数性

     集合分为有限集合跟无限集合,故名思议,有限集合即是可以统计出有多少元素的集合,而无限集合是无法统计出的。

     对于有限集合来说,它的真子集的基数是应该比它本身的基数要小,那么对于无限集合呢?

当然无限集合的基数是没有确切值了,因为它是无穷。我们先来看一个例子,自然数集N和偶自然数集{x: x % 2==0 && x is N}, 这两个集合我们凭空想象可能觉得后者应该比前者的基数小,因为后者是前者的真子集,但实际上我们应该从另一个角度来考虑,对于每一个自然数,它乘以2都是一个偶数,这样它们的基数应该是一样的,这里就引出了如下一个可数集的定义:

     集合X叫做可数无限的,当且仅当它与自然数集有相同的基数,亦即它与自然数集存在一种双射关系。集合X叫做最多可数的当且仅当它是可数的或者它是有限的。如果一个集合是不可数的,那么它是无限的但不是可数的。

    由此我们可以了解到几种无限可数的集合。例如奇自然数数,整数(如下解释),比例数(即有理数,称为比例数更加好,因为数不存在有理不有理,它是可数集的证明留给大家去想象)。

    整数是可数集,那么它应该与自然数一一对应,怎么对应呢。我们这样将自然数有序排列下去,然后0对应着0,1对应着1,2对应着-1,写成双射表达式就是:

   f(x) = (-1)^(x-1) * ((x+1)/2) x is N。

注:比例数跟自然数的双射关系很难写成表达式,但可以用言语表达。


我们有几个相关的推论:

  1. 自然数集合的一切子集合都是至多可数的。

  2. 如果X是最多可数的集合,而Y是X的子集合,则Y也是至多可数的。

  3. 如果Y是集合,并设f:N --> Y 是函数,那么f(N) 是至多可数的。

  4. X是可数集,并设f: X --> Y是函数,那么f(X) 是至多可数的。

上述的推论过程留待读者

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